Rotation d'un solide

1. Vitesse angulaire (ω)
\[ \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f \]
  • Définition : Angle parcouru par unité de temps.
  • Unités : ω en rad/s T en s f en Hz
  • Méthode :
    1. Mesurer la période T (temps pour 1 tour)
    2. Calculer ω = 2π/T
2. Relation vitesse linéaire/angulaire
\[ v = R \times \omega \]
  • Définition : Lien entre vitesse tangentielle et rotation.
  • Unités : v en m/s R en m
  • Application : Calculer la vitesse d'un point sur une roue.
Vitesse angulaire
💡 Conversion utile : 1 tr/min = 2π/60 rad/s ≈ 0.1047 rad/s
Pour convertir des rpm en rad/s : multiplier par π/30
Exercice

Un moteur tourne à 3000 tr/min. Son arbre a un diamètre de 2 cm. Calculer :

  1. La vitesse angulaire en rad/s
  2. La vitesse linéaire à la surface de l'arbre

1. Moment d'une force (M)
\[ M = F \times d \]
  • Définition : Capacité d'une force à faire tourner un solide.
  • Unités : M en N·m F en N d en m
  • Méthode :
    1. Trouver la distance perpendiculaire (d) entre l'axe et la ligne d'action de la force
    2. Multiplier par l'intensité de la force
Moment d'une force
⚙️ Astuce pratique : Le bras de levier (d) est toujours la distance perpendiculaire à la force.
Si la force est oblique, décomposez-la pour trouver la composante perpendiculaire.
Exercice

Une clé de 25 cm exerce une force de 50 N perpendiculairement à son axe :

  1. Calculer le moment de force
  2. Quelle force serait nécessaire pour obtenir le même moment avec une clé de 15 cm ?

1. Énergie cinétique rotationnelle
\[ E_c = \frac{1}{2} I \omega^2 \]
  • Définition : Énergie due au mouvement de rotation.
  • Unités : Ec en J I en kg·m² ω en rad/s
  • Méthode :
    1. Calculer le moment d'inertie I (dépend de la forme)
    2. Déterminer ω
    3. Appliquer la formule
2. Moments d'inertie courants
Solide Moment d'inertie (I)
Anneau (rayon R) \( I = mR^2 \)
Cylindre plein \( I = \frac{1}{2}mR^2 \)
Barre (longueur L) \( I = \frac{1}{12}mL^2 \) (axe central)
🔍 Méthode expérimentale : Pour mesurer I :
  • Méthode du pendule de torsion
  • Mesure de l'accélération angulaire sous moment connu
Exercice

Un volant d'inertie (cylindre plein) de 10 kg et 0.5 m de rayon tourne à 120 tr/min. Calculer :

  1. Son moment d'inertie
  2. Son énergie cinétique de rotation